历史数据 九五至尊娱乐场95zz_差点就成功的“希尔伯特计划”,竟被哥德尔搞黄了

九五至尊娱乐场95zz_差点就成功的“希尔伯特计划”,竟被哥德尔搞黄了

2020-01-11 15:51:31阅读量:184

九五至尊娱乐场95zz_差点就成功的“希尔伯特计划”,竟被哥德尔搞黄了

九五至尊娱乐场95zz,两个天才的

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19世纪末到20世纪初,数学正处于空前兴旺发达的时期。

但是,事物的发展都具有两面性,表面看上去越是繁荣昌盛,背后就越容易隐藏着危机——第三次数学危机。

就好比突然有一天,我们被告知,从小开始背的乘法口诀可能全是错的。

其中最具代表性的就是罗素于1919年提出的“理发悖论”了。

为了捍卫数学的严谨性和科学性,一位巨人站了出来——希尔伯特。

戴维·希尔伯特,德国著名数学家

希尔伯特被称为“数学界最后一位全才”。他最擅长的“非构造性证明”和“排中律”是数学界最具特色也是最具争议性的证明方法之一。

举个栗子:

希尔伯特就是受到“非构造性证明”和“排中律”的启发,于1920年提出了著名的“证明论计划”,又称为“希尔伯特计划”。

“希尔伯特计划”有点类似于程序员编码时使用的c语言,欲把所有数学形式化——所有数学表述都应该用一套具有统一标准的数学语言,并且按照一套严格的规则来使用。

而且,无论多深奥、多复杂的数学猜想,只要我们按照这个方法来做,“真相大白”只是时间问题而已。

超模君说了那么多,希尔伯特计划到底意义何在?

希尔伯特的最终设想其实就是,找到一个合理的算法,就可以套用这个方法来判定所有数学表述的真伪性。

这听上去,好像的确是一个不错的计划,而实际上,希尔伯特却是“搬起石头砸自己的脚”。

1900年8月8日,希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了一个被称为“20世纪数学至高点”的演讲,演讲中,希尔伯特提出了23个数学问题。

当全世界的数学家们都在致力于解决这“23个数学问题”时,哥德尔却仍惦记着希尔伯特计划,最让人惊讶的是,他居然把“希尔伯特计划”给推翻了。

库尔特·哥德尔,数学家、逻辑学家和哲学家

可以说,哥德尔就是因为希尔伯特才开始喜欢捣鼓数理逻辑的。

他读完希尔伯特的《数理逻辑原理》后,干脆就从论文中选了一个话题当作他的博士论文主题——“在形式系统中,真的命题是否都是可证明的?”

哥德尔这篇博士论文的结论便是鲜为人知的“哥德尔完全性定理”——一阶谓词演算是完备的。但是这个定理却有个致命的缺点:一阶逻辑的局限性过高,甚至它连自然数都定义不了,就更别说做算术了。

哥德尔发现这个问题后,用了一年的时间来做更深层次的研究,却得到了一个完全相反结论——哥德尔不完全性定理。(其中包含了第一定理和第二定理)

第一定理:任意一个包含一阶逻辑与初等数论的形式系统,都存在一个命题,它在这个系统中既不能被证明为真,也不能被证明为否。

也就是说,要是我们能在一个数学系统中做算术的话,那么要么这个系统是自相矛盾的,要么有那么一些结论,它们是真的,我们却无法证明。

第二定理,如果系统s含有初等数论,当s无矛盾时,它的无矛盾性不可能在s内证明。

说得通俗点就是,哥德尔在希尔伯特的方法证明数学陈述时,产生了逻辑矛盾,得到了一个又真又假的的悖论,否定了希尔伯特提出的一致性。

那为什么说希尔伯特有种“搬起石头砸自己的脚”的感觉呢?

因为哥德尔推翻希尔伯特计划和证明这两个定理的过程当中,运用的就是希尔伯特计划提及的:形式化。而且哥德尔还完美的解答了希尔伯特提出的“23个数学问题”中的第二个问题。

说白了就是,这个数学陈述陈述了它自己——自指。

超模君给模友们举一个很简单的例子,“这句话是错的”,那它到底是对的还是错的?

同理,引起第三次数学危机的“理发悖论”也是一个逻辑爆炸的自指过程,这也代表着哥德尔成功推翻了希尔伯特计划。

不得不承认,天才就是天才。哥德尔巧妙地利用了“自指悖论”,构造了一个其自身就不可证明的命题,从而得出这几个结论:

这就是哥德尔不完全性定理第一定理的思路,前两点(第一定理)针对解答了希尔伯特计划中指的完备性,第三点(第二定理)则是关于一致性的解答。

哥德尔这波神一般的操作,不仅把人们从“23个数学问题”中吸引了过来,还彻底粉碎了“希尔伯特计划”,如果我们假定数学不会自相矛盾的话,我们就必须承认数学是不完备的,也就是说有这么一些数学命题是不可判定的:我们既不能证明它们为真,也不能证明它们为假。

但当时仍有不少数学家认为,虽然“希尔伯特的梦”破碎了,这并不威胁数学的正常发展。

因为希尔伯特在他的退休的那一刻给后辈们留下了一句永恒的真理。

wir müssen wissen, wir werden wissen.

我们必须知道,我们必将知道。

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